L'analyse repose en large part sur l'emploi (d'une version) de l'├ęquation classique de la cat├ęnaire (ou cha├«nette) qui d├ęcrit le comportement d'une cha├«ne entre le davier et le fond.
Cette version donne la composante horizontale Fh de la force exerc├ęe aux deux extr├ęmit├ęs de la cha├«ne en fonction de
- la hauteur H entre le fond et le davier (hauteur d'eau + franc-bord avant),
- la longueur S de la chaîne entre le davier et l'ancre, que la chaîne rejoint avec un angle nul. et
- le poids w de la cha├«ne par m├Ętre dans l'eau (par exemple 1,96 kg / m par une cha├«ne de 10 mm)

Fh =w ├Ś (4S┬▓- 4H┬▓)/8H

NB: le poids d'un objet en acier dans l'eau (cha├«ne, ancre ...) est son poids dans l'air (2,25 kg par m par exemple pour une cha├«ne de 10 mm) multipli├ę par 0,87, en raison de la pouss├ęe d'Archim├Ęde[1].
Il faut par exemple exercer une force horizontale de 164 kg pour qu'une ligne de mouillage de 35 m en cha├«ne de 10 mm ne touche le fond qu'au niveau de l'ancre, 7 m├Ętres sous le niveau du davier, avec un angle nul.
Si la force est inf├ęrieure, la cha├«ne touchera le fond ├á une certaine distance de l'ancre, le reste de la cha├«ne serpentant sur le fond jusqu'├á l'ancre[2].

On peut calculer la longueur de cha├«ne pos├ęe sur le fond en programmant la formule sur un tableau[3] et en cherchant par essais et erreurs la longueur S qui donne une force donn├ęe[4].
Pour une force de 30 kg par exemple, on trouve, par ajustements successifs, S = 16,24 m. Donc 18,76 m de cha├«ne seront pos├ęs sur le fond car le total doit faire 35 m.

Or cette partie de la cha├«ne offre une certaine r├ęsistance ├á la traction en raison des forces de frottement entre le sol et la cha├«ne. Le manuel didactique de Vryhof, un des plus grands fabriquants d'ancres pour les gros navires, nous apprend[5] que la coefficient de friction est voisin de 1. En d'autres termes, la r├ęsistance qu'offre une cha├«ne est sensiblement ├ęgale ├á son poids.[6]. Dans notre exemple, la cha├«ne offrira donc une r├ęsistance de (18,8 * 1,96 =) 37 kg environ. On constate que si le vent repousse le voilier avec une force de 30 kg, la cha├«ne seule suffira pour le maintenir en place !

Si on fait l'hypoth├Ęse qu'une ancre simplement pos├ęe sur le fond offre un m├¬me degr├ę de r├ęsistance[7], la r├ęsistance totale sera d'environ 51 kg, ce qui est largement suffisant[8]. Ce dernier calcul est simple ├á impl├ęmenter sur un tableur.

Toujours en ajustant S (la longueur de la cat├ęnaire) on constate que ce couple cha├«ne + ancre peut s'opposer ├á une force a├ęrodynamique de 44,8 kg au maximum, S valant alors 19,2 m, avec donc 15,8 m de cha├«ne sur le fond.

Le m├¬me texte de Don Dodds nous apprend qu'un bateau de 44 pieds est soumis ├á une force a├ęrodynamique d'environ 32 kg dans 15 noeuds de vent.[9]. Comme cette force cro├«t en fonction du carr├ę de la vitesse du vent, la force pour 25 noeuds de vent sera (25/15)┬▓ = 2,78 fois plus grande, soit pratiquement 90 kg.

On peut enfin estimer la longueur MINIMUM de cha├«ne qui a permis ├á son bateau de ne pas d├ęraper au mouillage dans les aliz├ęs, retenu simplement par l'ancre et la cha├«ne sur le fond[10].
On ajuste d'abord S pour obtenir une force de 90 kg, puis, toujours par essais et erreurs, la longueur totale de la cha├«ne afin que la r├ęsistance due ├á la friction soit ├ęgalement de 90 kg.
On trouve 70,7 m de chaîne si la distance fond-davier est de 10m, ou 65,1 m pour 7 m.
Ces valeurs ne sont pas n├ęgligeables, mais pas d├ęraisonnables pour un bateau de voyage : Le 'scope' (c'est-├á-dire le rapport longueur de cha├«ne / hauteur d'eau + franc-bord) est de 7 dans le premier cas et de 9,3 dans le second

Il reste encore un point important ├á souligner. Le manuel de Vryhof indique que le coefficient de friction (qui relie r├ęsistance ├á la traction et poids de la cha├«ne) n'est plus que de 0,7 lorsque la cha├«ne est en mouvement ! Ceci implique que lorsque le bateau commence ├á d├ęraper, la r├ęsistance offerte par la cha├«ne diminue brutalement de 30 %. Il y a donc peu de chance pour que cette glissade s'arr├¬te d'elle-m├¬me...avec toutes les cons├ęquences que l'on imagine !

Au final, on comprend mieux la situation que relate un contributeur au Cruisers' Forum qui navigue sur un Catalina 47 ├ęquip├ę d'une ancre Rocna de 25 kg (ma traduction):
Pendant un coup de vent de 25 noeuds en Baja California, j'ai plong├ę pour v├ęrifier que mon mouillage tenait bien... Ce que j'ai vu m'a donn├ę un choc. J'├ętais dans 10 m d'eau avec un peu plus de 50 m de cha├«ne. J'ai suivi le mouillage ├á partir de l'avant du bateau. Apr├Ęs une vingtaine de m├Ętres, la cha├«ne tournait sur la sable de 90┬░ et continuait ainsi jusqu'├á l'ancre. En d'autres termes, mon bateau de 17 tonnes tenait dans 25 noeuds de vent gr├óce au seul poids de la cha├«ne...

A suivre

Notes

[1] En appliquant cette correction, on ne tient pas compte du court morceau de chaîne entre le davier et la surface de l'eau où il faudrait prendre le poids dans l'air.

[2] On trouvera une bonne illustration ici.

[3] Comme celui d'OpenOffice, libre et gratuit.

[4] Il existe une mani├Ęre bien plus ├ęl├ęgante de le faire, mais la formule fait intervenir un sinus hyperbolique qui peut faire peur !

[5] Page 158.

[6] On suppose ici que cette relation reste vraie quelle que soit la taille d'une chaîne.

[7] 16 * 0,87 = 14 kg pour une ancre de 16 kg à l'air.

[8] Il faudrait tester ces hypoth├Ęses, ce qui semble possible: des volontaires?.

[9] Ce chiffre, mesur├ę par l'auteur, est bien inf├ęrieur, d'un facteur 3 environ, ├á celui du tableau de l'ABYC, cit├ę partout, par exemple par Plastimo: nous reviendrons sur ce point dans un prochain billet

[10] On supposera une cha├«ne de 10 mm et on prendra une hauteur d'eau arbitraire mais r├ęaliste.